题目

"导数 dy / dx"和"微分 dy" 的记号
我有一点没明白：
我们是把"导数 dy / dx"和"微分 dy" 都作为一个整体记号对待啊；
但为啥在很多场合下,可以把"导数 dy / dx"拆开成dy除以dx来使用和理解呢?
如：微商,我们认为是函数的微分除以自变量的微分,dy除以dx；
再如：在求微分方程时,我们可以等式两便同乘dy或dx；...这不是都把"导数 dy / dx"看作是两部分的除法在用嘛,没有看作一个整体啊~
这点我没想明白~能详讲下吗?感谢~
1幻の上帝，能说得再详细点吗？感谢啊~
2为啥对于多元函数就不一样了。偏导数记号不能随便拆着用?

提问时间：2020-06-19

答案

d/dx可以看作一个微分算子,表示对x求导数的运算.
一元函数导数定义：
(d/dx)y=f'(x)=lim(Δx→0)((f(x+Δx)-f(x))/Δx).
一元函数微分定义：
若Δy=f(x+Δx)-f(x)=AΔx+o(Δx),其中A是和Δx无关的常量,则dy=AΔx为y的微分.
显然dx=1Δx+o(Δx)=Δx.
于是dy=Adx,A=(Δy-o(Δx))/Δx=lim(Δx→0)Δy/Δx=f'(x).
所以有dy=f'(x)dx,也就是说f'(x)=(d/dx)y=dy/dx
但对于多元函数就不一样了.偏导数是一个整体记号,不能拆分.偏增量不用偏导数记号而用Δ表示,这应该是由于习惯问题.