题目

设函数f(x)＝x(ex＋ae－x）,x∈R,是偶函数,则实数a= (2)试确定a的值,使f(x)的奇函数

提问时间：2020-06-13

答案

1.函数f(x)＝x(e^x＋ae^(-x)),x∈R,是偶函数,则f(-x)=f(x).
-x(e^(-x)＋ae^x)= x(e^x＋ae^(-x))
x(e^x＋ae^(-x))+ x(e^(-x)＋ae^x)=0
x[(1+a) e^x+(a+1) e^(-x)]=0
x(e^x＋e^(-x))(1+a)=0
a=-1.
2.若f(x)是奇函数,因为函数y=x是奇函数,
所以函数e^x＋ae^(-x)必须是偶函数.
即有e^(-x)＋ae^x= e^x＋ae^(-x)
e^(-x)＋ae^x- e^x-ae^(-x)=0
(a-1) e^x+(1-a) e^(-x)=0
(a-1)( e^x- e^(-x))=0
所以a=1.