题目

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1．
（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式
（2）若函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

提问时间：2020-06-13

答案

f′（x）=-3x²+2ax+b，（2分）
因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3，
所以f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，（3分）
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1．（4分）
（1）函数f（x）在x=-2时有极值，所以f'（-2）=-12-4a+b=0，（5分）
解得a=-2，b=4，c=-3，（7分）
所以f（x）=-x³-2x²+4x-3．（8分）
（2）因为函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，所以导函数f′（x）=-3x²-bx+b
在区间[-2，0]上的值恒大于或等于零，（10分）
则

f′(−2)＝−12+2b+b≥0 f′(0)＝b≥0，

得b≥4，所以实数b的取值范围为[4，+∞）（14分）

（1）对函数f（x）求导，由题意点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1，可得f′（1）=-3，再根据f（1）=-1，又由f′（-2）=0联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式．
（2）由题意函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，对其求导可得f′（x）在区间[-2，0]大于或等于0，从而求出b的范围．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：此题利用导数研究函数的极值，若函数f′（x）＞0，得f（x）为增函数，若f′（x）＜0，得f（x）为减函数，充分利用此条件解题．