题目

关于抛物线焦点弦性质问题

提问时间：2020-06-13

答案

证明：y^2=2px 直线AB方程：y=tana(x-p/2)
联立得：x^2-p[(2/tana)+1]x+p^2/4=0
y^2-(2p/tana)y-p^2=0
得到这俩方程基本可以证明第三问了.x1x2=p^2/4,y1y2=-p^2
1、由上面方程可知 y1+y2=2p/tana y1y2=-p^2
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=(y1^2/2p-y2^2/2p)^2+(y1+y2)^2-4y1y2
=1/4p^2(y1+y2)^2[(y1+y2)^2-4y1y2]+(y1+y2)^2-4y1y2
代入 y1+y2=2p/tana y1y2=-p^2
AB^2=4p^2/sin^4a
可得AB=2p/sina^2
2、x1+x2=p[(2/tana)+1],x1x2=p^2/4
A(x1,y1) F(p/2,0) B(x2,y2)
AF^2=(x1-p/2)+y1^2
=x1^2-px1+p^4+2px1
=(x1+p/2)^2
所以AF=X1+P/2 同理BF=x2+p/2
1/AF+1/BF=(x1+x2+p)/[x1x2+p/2(x1+x2)+p^2/4]
代入 x1+x2=p[(2/tana)+1],x1x2=p^2/4
可得1/AF+1/BF=2/P
3、由俩方程可得.
4、o点到直线AB的距离d=ptana/2,AB=2p/sin^2a
所以SΔoAB=1/2*ptana/2*2p/sin^2a
=p^2/2sina
其实这就是抛物线和直线联立得到方程.然后根据方程的俩根之和与俩根之积计算.