题目

若双曲线kx^2 - y^2 = 1的右焦点为F,斜率大于0的渐近线l,l与右准线交于A,FA与左准线交于B,与双曲线左支交于C,若B为AC中点,求双曲线方程.
我最后算到一个关于k的方程,根本无法解.
望高手赐教,如果打出来太繁,说明解题思路也可以,

提问时间：2020-05-30

答案

由题意k＞0,c= √(1+1/k),
渐近线方程l为y=√k x,
准线方程为x=± 1/(kc),于是A（1/(kc) ,√k/(kc) ）,
直线FA的方程为 y=[√k (x-c)]/(1-kc^2) ,
于是B（－1/kc ,(1+kc^2)/[√k c(kc^2-1) ] ）.
由B是AC中点,则xC=2xB－xA＝－3/kc ,
yC=2yB－yA＝ (3+kc^2)/[[√k c(kc^2-1)].
将xC、yC代入方程kx^2－y^2＝1,得
k^2c^4－10kc^2＋25＝0.
解得k（1+1/k）＝5,则k＝4.
所以双曲线方程为4x^2－y^2＝1．