题目

已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论F(x)=a

f(x)

-

b

xf(x)

的奇偶性．

提问时间：2020-05-08

答案

（1）f(x)=xm2-2m-3=xm(m-2)-3，由题意知m（m-2）为奇数又m∈z
且f（x）在（0，+∞）上递减，
∴m=1，f（x）=x^-4
（2）F(x)=a

x-4

-

b

x•x-4

=a•x-2-b•x3(x≠0)
∵y=x^-2是偶函数，y=x³是奇函数
①a≠0且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；
②a=0且b≠0时，F（x）为奇函数；
③a≠0且b=0时，F（x）为偶函数；
④a=b=0时，F（x）为奇且偶函数

（1）由幂函数f（x）为（0，+∞）上递减，推知m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3因为m为整数故m=0，1或2，又通过函数为偶函数，推知m²-2m-3为偶数，进而推知m²-2m为奇数，进而推知m只能是1，把m代入函数，即可得到f（x）的解析式．
（2）把f（x）的解析式代入F（x），得到F（x）的解析式．然后分别讨论a≠0且b≠0时，a=0且b≠0时，a≠0且b=0时，a=b=0时，函数的奇偶性．

本题考点：奇偶性与单调性的综合；幂函数的性质．

考点点评：本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用．要理解好函数单调性和奇偶性的定义并能灵活利用．