题目

题型：海南难度：来源：

图中左边有一对平行金属板，两板相距为d．电压为V；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B₀，方向与金属板面平行并垂直于纸面朝里．图中右边有一半径为R、圆心为O的圆形区域内也存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里．一电荷量为q的正离子沿平行于全属板面、垂直于磁场的方向射入平行金属板之间，沿同一方向射出平行金属板之间的区域，并沿直径EF方向射入磁场区域，最后从圆形区城边界上的G点射出．已知弧

FG

所对应的圆心角为θ，不计重力．求
（1）离子速度的大小；
（2）离子的质量．

答案

（1）由题设知，离子在平行金属板之间做匀速直线运动，将受到的向上的洛伦兹力和向下的电场力，由题意知二力平衡，有：
qvB₀=qE_0…①
式中，v是离子运动速度的大小．E₀是平行金属板之间的匀强电场的强度，有：
E0=

V

d

…②
①②两式联立得：
v=

V

B0d

…③
（2）在圆形磁场区域，离子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有：
qvB=m

v2

r

…④


式中，m和r分别是离子的质量和它做圆周运动的半径．
由题设，离子从磁场边界上的点G穿出，离子运动的圆周的圆心O"必在过E点垂直于EF的直线上，且在EG的垂直一平分线上（见图）．
由几何关系有：
r=Rtanα…⑤
式中，α是OO"与直径EF的夹角，由几何关系得：
2α+θ=π…⑥
联立③④⑤⑥式得，离子的质量为：
m=

qBB0Rd

V

cot

θ

2

答：（1）离子速度的大小为

V

B0d

．
（2）离子的质量

qBB0Rd

V

cot

θ

2

．