题目

题型：不详难度：来源：

制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板，如图甲所示．加在极板A、B间的电压U_AB按图乙所示规律变化：在0-T₀时间内电压为U₀，此后电压呈周期性变化，电压大小为kU₀，电压变化的周期为2τ．在t=0时，极板B附近的一个电子，质量为m、电荷量为e，受电场作用由静止开始运动．若无论经过多长的时间，这个电子既未碰到极板A，也没有碰到极板B，且不考虑重力作用．
（1）d的取值必须满足什么条件？
（2）k的取值以及T₀与τ之间的关系必须满足什么条件？
（3）现逐渐增大k的值，使得电子第一次向B极板运动时就能碰到B板，求k的最小值．

答案

（1）电子在0～T₀时间内做匀加速运动，位移为d₁=

1

2

a1

T

20

，又a₁=

eT0

md

，得d1=

eT0

2md

T

20

．
T₀～T₀+τ时间内先向上做匀减速运动，后向下做初速度为零的匀加速运动，匀减速运动的位移为
  d₂=

v 21

2a2

，
又a₂=

keU0

md

，v₁=a₁T₀
d＞d₁+d₂
解得  d＞

(k+1)eU0 T 20

2kmd

（2）据题分析得，要使电子没有碰到极板B，则有
   d₂＜d₁
又a₁T₀=a₂

τ

2

结合（1）中各式，得
   k=

2T0

τ

，T₀＞

τ

2

（3）要使得电子第一次向B极板运动时就能碰到B板，则有
  d₁+d₂≤2×

1

2

a2(τ-t)2，t=

v1

a2

解得 k≥

T 20 +4τT0+ T 40 +16τ2 T 20

4τ2

或k≥

T 20 +4τT0- T 40 +16τ2 T 20

4τ2

所以k_min=

T 20 +4τT0+ T 40 +16τ2 T 20

4τ2

答：（1）d的取值必须满足的条件是d＞

(k+1)eU0 T 20

2kmd

．
（2）k的取值是

2T0

τ

，T₀与τ之间的关系必须满足的条件T₀＞

τ

2

．
（3）现逐渐增大k的值，使得电子第一次向B极板运动时就能碰到B板，k的最小值是

T 20 +4τT0+ T 40 +16τ2 T 20

4τ2

．