题目

题型：不详难度：来源：

一个质量为m、直径为d、电阻为R的金属圆环，在范围足够大的磁场中竖直向下落，磁场的分布情况如图所示.已知磁感应强度竖直方向分量B_y的大小只随高度y变化，其随高度y变化关系为B_y=B₀(1+ky)(此处k为比例常数，且k＞0)，其中沿圆环轴线的磁场方向始终竖直向上.金属圆环在下落过程中的环面始终保持水平，速度越来越大，最终稳定为某一数值，称为收尾速度.求：

(1)圆环中感应电流的方向；
(2)圆环收尾速度的大小.

答案

(1)顺时针(俯视观察)
(2)16mgR/π²k²B₀²d⁴

解析

(1)根据楞次定律可知感应电流的方向为顺时针(俯视观察).
(2)圆环下落高度为y时的磁通量为
Φ=BS=Bπ=B₀(1+ky)π                                                 ①
设收尾速度为v_m，以此速度运动Δt时间内磁通量的变化为：ΔΦ=ΔBS=B₀kπv_mΔt ②
根据法拉第电磁感应定律有
E==B₀kπv_m                                                       ③
圆环中感应电流的电功率为                                      ④
重力做功的功率为P_G=mgv_m                                              ⑤
根据能的转化和守恒定律有P_E=P_G                                        ⑥
由①—⑥解得v_m=16mgR/π²k²B₀²d⁴.