题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，aa′、bb′、cc′、dd′为区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的竖直边界，三个区域的宽度相同，长度足够大，区域Ⅰ、Ⅲ内分别存在垂直纸面向外和向里的匀强磁场，区域Ⅱ存在竖直向下的匀强电场．一群速率不同的带正电的某种粒子，从边界aa′上的O处，沿着与Oa成30°角的方向射入Ⅰ区．速率小于某一值的粒子在Ⅰ区内运动时间均为t₀；速率为v₀的粒子在Ⅰ区运动后进入Ⅱ区．已知Ⅰ区的磁感应强度的大小为B，Ⅱ区的电场强度大小为2Bv₀，不计粒子重力．求：

(1)该种粒子的比荷；
(2)区域Ⅰ的宽度d；
(3)速率为v₀的粒子在Ⅱ区内运动的初、末位置间的电势差U；
(4)要使速率为v₀的粒子进入Ⅲ区后能返回到Ⅰ区，Ⅲ区的磁感应强度B′的大小范围应为多少？

答案

(1)　(2)　(3)  (4)B′≥B

解析

(1)速率小于某一值的粒子在区域Ⅰ中运动时间均为t₀，这些粒子不能从bb′离开区域Ⅰ，其轨迹如图a所示(图中只画出某一速率粒子的轨迹)．粒子运动轨迹的圆心角为φ₁＝300°①
t₀＝T＝T②
由牛顿第二定律得qvB＝③
T＝④
得粒子的比荷＝⑤

(2)设速率为v₀的粒子在区域Ⅰ内运动轨迹所对圆心角为φ₂，φ₂＝φ₁＝60°⑥
由几何知识可知，穿出bb′时速度方向与bb′垂直，其轨迹如图b所示，设轨迹半径为R₀，d＝R₀sin φ₂⑦
R₀＝
区域Ⅰ的宽度d＝⑧
(3)设速率为v₀的粒子离开区域Ⅱ时的速度大小为v₁，方向与边界cc′的夹角为φ₃
水平方向有d＝v₀t　竖直方向有v_y＝at⑨
a＝＝⑩
tan φ₃＝⑪
v₁＝2v₀⑫
φ₃＝30°⑬
由动能定理得qU＝mv－mv⑭
U＝⑮
(4)速率为v₀的粒子在区域Ⅲ内做圆周运动，当Ⅲ区内的磁感应强度为B₁时，粒子恰好不能从区域Ⅲ的边界dd′飞出，设其轨迹半径为r，则r(1＋cos φ₃)＝d⑯
r＝，解得B₁＝B⑰
所以，粒子能返回Ⅰ区，B′的大小范围为B′≥B⑱