题目

题型：高考真题难度：来源：

两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示，在y＞0，0＜x＜a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在y＞0，x＞a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点有一处小孔，一束质量为m、带电量为q（q＞0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后扎在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0＜x＜a的区域中运动的时间与在x＞a的区域中运动的时间之比为2∶5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。

答案

解：粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中运动的半径为：
速度小的粒子将在x＜a的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在y轴上，半径的范围从0到a，屏上发亮的范围从0到2a
轨道半径大于a的粒子开始进入右侧磁场，考虑r＝a的极限情况，这种粒子在右侧的圆轨迹与x轴在D点相切（虚线），OD＝2a，这是水平屏上发亮范围的左边界
速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为C和C"，C在y轴上，由对称性可知C"在x＝2a直线上

设t₁为粒子在0＜x＜a的区域中运动的时间，t₂为在x＞a的区域中运动的时间，由题意可知
，
解得：，
由两式和对称性可得：∠OCM＝60°，∠MC"N＝60°，360°＝150°
所以∠NC"P＝150°－60°＝90°
即为圆周，因此，圆心C"在x轴上
设速度为最大值粒子的轨道半径为R，由直角ΔCOC"可得
2Rsin60°＝2a

由图可知OP＝2a＋R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标