题目

题型：北京同步题难度：来源：

如图，在0≤x区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0~180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t₀时刻刚好从磁场边界上P（a，a）点离开磁场，求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；
(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
(3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

答案

解：(1)初速度与y轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图中的所示，其圆心为C
由题给条件可以得出 ①

此粒子飞出磁场所用的时间为 ②，式中T为粒子做圆周运动的周期
设粒子运动速度的大小为v，半径为R，由几何关系可得 ③
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
 ④
 ⑤
联立②③④⑤式，得
(2)依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同。在t₀时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧MN上，如图所示

设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为v_P、v_M、v_N。由对称性可知v_P与OP、v_M与OM、v_N与ON的夹角均为π/3。设v_M、v_N与y轴正向的夹角分别为θ_M、θ_N，由几何关系有
 ，
对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足
(3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切
由几何关系可知
由对称性可知
从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间t_m=2t₀