题目

题型：江西省专项题难度：来源：

有一倾角为θ的斜面，其底端固定一档板，另有三个木块A、B、C，它们的质量分别为m_A=m_B=m，m_C=3m，它们与斜面间的动摩擦因数都相同。其中木块A和一轻弹簧连接，放于斜面上，并通过轻弹簧与档板M相连，如图所示。开始时，木块A静止在P点，弹簧处于原长，木块B在Q点以初速度v₀沿斜面向下运动，P、Q间的距离为l，已知木块B在下滑过程中做匀速直线运动，与木块A碰撞后立刻一起沿斜面向下运动，但不粘连，它们到达一个最低点后向上运动，木块B向上运动恰好能回到Q点。现将木块C从Q点以初速度沿斜面向下运动，木块A仍静止于P点，经历同样的过程，最后木块C停在斜面上的R点（图中未画出）。求：
（1）A、B一起开始压缩弹簧时速度v₁；
（2）A、B压缩弹簧的最大长度；
（3）P、R间的距离l"的大小。

答案

解：（1）木块B下滑做匀速运动，有mgsinθ=μmgcosθ
B和A碰撞后，设速度为v₁，根据动量守恒定律得mv₀=2mv₁
解得v₁=
（2）设两木块向下压缩弹簧的最大长度为x，两木块被弹簧弹回到P点时的速度为v₂，根据动能定理得
一μ2mgcosθ2x=2mv一2mv
两木块在P点处分开后，木块B上滑到Q点的过程中，根据动能定理得
一(mgsinθ+μmgcosθ)l=0一mv
解得x=一l
（3）木块C与A碰撞前后速度为v₁"，根据动量守恒定律得3m=4mv₁"
解得v₁"=
设木块C和A压缩的最大长度为x"，两木块被弹簧弹回到P点时的速度为v₂"，根据动能定理得
一μ4mgcosθ2x"=4mv"一4mv"
木块C与A在P点处分开后，木块C上滑到R的过程中，根据动能定理得
一(3mgsinθ+μ3mgcosθ)l"=0一3mv"
在木块压缩弹簧的过程中，重力对木块所做的功与摩擦力对木块所做的功大小相等，因此，木块B和A压缩弹簧的初动能E_k1==
木块C与A压缩弹簧的初动能E_k2==
即E_k1=E_k2
因此，弹簧先后两次的最大压缩量相等，即x=x"，综上可得l"=l一