题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图所示，有一光滑轨道ABC，AB为竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道，BC部分为足够长的水平轨道。一个质量为m₁的小物体自A处由静止释放，m₁沿圆弧轨道AB滑下，与在水平轨道BC上质量为m₂的静止的物体相碰。
（1）如果m₂与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端连在固定装置P上。m₁滑到水平轨道后与m₂发生碰撞但不粘连，碰撞后m₁与m₂一起将弹簧压缩后被弹回，m₁与m₂重新分开。若弹簧压缩和伸长过程中无机械能损失，且m₁=m₂，求m₁反弹后能达到的最大高度；
（2）如果去掉与m₂相连的弹簧及固定装置P，m₁仍从A处由静止释放。
a．若m₁=m₂，且m₁与m₂的碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后m₁能达到的最大高度。
b．若m₁与m₂的碰撞过程中无机械能损失，要使m₁与m₂只能发生两次碰撞，求m₂与m₁的比值范围。

答案

解：（1）m₁从A滑到B重力势能转化为动能，m₁的速度达到v₁
 ①
m₁与m₂发生碰撞时弹簧处于自然状态，系统动量守恒，碰撞后以共同速度v共向右运动

v_共= ②
m₁与m₂一起将弹簧压缩后又被弹回，当弹簧恢复到自然长度时m₁与m₂重新分开，此时m₁与m₂的速度都为v_共，m₁以v_共为初速度滑上圆弧轨道，设m₁能达到的最大高度是h
 
解得
（2）撤去弹簧及固定装置后
a. m₁与m₂发生碰撞时系统动量守恒，且没有机械能损失。设向右为正方向，有
 ③
 ④
代入m₁=m₂可得，负号表示m1向左运动
此后m₁冲上圆弧轨道，设m₁能达到的最大高度是

将带入上式，可得
b. m₁滑到水平轨道以速度v₁与静止的m₂发生第一次碰撞，设向右为正方向，有


解得，
要能发生第二次碰撞的条件是v₁"<0，即m₁＜m₂；且|v₁"|＞v₂"，即|m₁－m₂|＞2m₁，可得m₂＞3m₁ ⑤
m₁从圆弧轨道上滑下，以速度与速度为的m₂发生第二次碰撞，有


第二次碰后m₁和m₂的速度 ⑥， ⑦
不发生第三次碰撞的条件为≤，即-≤≤
则
解不等式
得 ⑧
解不等式
得m₂≥3m₁ 或m₂≤-m₁ ⑨
综合⑤、⑧、⑨，m₁与m₂只能发生两次碰撞的条件为