题目

题型：浙江难度：来源：

如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂．现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场．已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处．求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°．

答案

设小球m的摆线长度为l
小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒：mgl(1-cosθ)=

1

2

mv02①
m和M碰撞过程是弹性碰撞，故满足：
mv₀=MV_M+mv₁ ②

1

2

mv02=

1

2

mv12+

1

2

MVM2  ③
联立 ②③得：v1=

m-M

m+M

v0  ④
说明小球被反弹，且v₁与v₀成正比，而后小球又以反弹速度和小球M再次发生弹性碰撞，满足：
mv₁=MV_M1+mv₂ ⑤

1

2

mv12=

1

2

mv22+

1

2

MVM12⑥
解得：
v2=

m-M

m+M

|v1| ⑦
整理得：
v2=-(

m-M

m+M

)2v0⑧
故可以得到发生n次碰撞后的速度：
vn=|(

m-M

m+M

)nv0|⑨
而偏离方向为45⁰的临界速度满足：
mgl(1-cos450)=

1

2

mv临界2⑩
联立①⑨⑩代入数据解得，当n=2时，v₂＞v_临界
当n=3时，v₃＜v_临界
即发生3次碰撞后小球返回到最高点时与竖直方向的夹角将小于45°．