题目

题型：安徽省期末题难度：来源：

为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为l=2.0m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的。其AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个小物块以初速度v₀＝4.0m/s从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰好沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数μ=0.50。（g＝10m/s²、sin37°＝0.60、cos37°＝0.80）
（1）求小物块到达A点时速度。
（2）要使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件？
（3）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？

答案

解：（1）小物块做平抛运动，经时间t到达A处时，令下落的高度为h，水平分速度v₀，竖直速度为v_y，小物块恰好沿斜面AB方向滑下，则tan37°=v_y/v₀
得v_y=3 m/s，所以小物块到A点的速度为5m/s
（2）物体落在斜面上后，受到斜面的摩擦力F_f=μF_N=μmgcos37°
设物块进入圆轨道到达最高点时有最小速度v₁，此时物块受到的重力恰好提供向心力，令此时的半径为 R₀，则mg=mv₁²/R₀
物块从抛出到圆轨道最高点的过程中，根据动能定理有：
mg(h+lsin37°－2R₀)－μmgcos37°·l = mv₁²/2－mv₀²/2
联立上式，解得R₀=0.66m
若物块从水平轨道DE滑出，圆弧轨道的半径满足R₁≤0.66m
（3）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则物块上升的高度须小于或于某个值R，则mg(h+lsin37°)／μmgcos37°·l－mgR=0－mv₀²/2
解得R=1.65m
物块能够滑回倾斜轨道AB，则R₂≥1.65m