题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，倾角θ=30°的光滑斜面上MN底端固定一轻弹簧，轻弹簧的上端与滑块A固定连接，弹簧劲度系数k=100N/m，A静止且距斜面顶端N点相距x=0.10m．另一小滑块B在N点以加速度v₀=5

2

m/s沿斜面向下运动，A、B碰撞后具有相同速度但不粘连．B与A分离后，B恰水平进入停放在光滑水平地面上的小车最左端，小车右端与墙壁足够远，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线水平，小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上．已知水平地面和半圆轨道面均光滑，滑块A、B可视为质点且质量均为m=2kg，被A压缩时弹簧存储的弹性势能E_p=0.5J，小车质量M=1kg，长L=1.0m，滑块B与小车上表面间的动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²．求：
（1）滑块B与A碰撞结束瞬间的速度；
（2）小车与墙壁碰撞前瞬间的速度；
（3）为使滑块B能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，对轨道半径R有何要求？

答案

（1）从释放B到与A碰撞前的过程，由动能定理得：
mgxsinθ+

1

2

mv₀²=+

1

2

mv₁²，
代入数据解得：v₁=

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m/s，
A、B碰撞过程动量守恒，以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv₁=（m+m）v₂，
代入数据解得：v₂=

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2

m/s；
（2）开始时A处于平衡状态，由平衡条件得：
mgsinθ=kx₀，
代入数据解得：x₀=0.1m，
已知x=0.1m，弹簧恢复原长时，上端的位置恰好在N点，B、A碰撞后，弹簧恢复原长时，A、B在N点分离，
从A、B碰撞后到即将分离过程中，由能量守恒定律得：
E_p=2mgx₀sinθ+

1

2

•2mv₃²-

1

2

•2mv₂²，
代入数据解得：v₃=2

3

m/s，
此后B从斜面飞出，做斜抛运动直至运动到最高点，它落入小车的最左端的速度：
v_3x=v₃cosθ，
代入数据解得：v_3x=3m/s，
滑块与小车组成的系统动量守恒，以滑块的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv_3x=（m+M）v₄，
代入数据解得：v₄=2m/s，
滑块与小车组成的系统，由能量守恒定律得：
μmgL₁=

1

2

mv_3x²-

1

2

（m+M）v₄²，
代入数据解得：L₁=0.75m＜L=1m，
小车与墙壁碰撞时的速度为v₄=2m/s；
（3）小车与墙壁碰撞后，滑块在小车上做匀减速运动，
位移：L₂=L-L₁=1-0.75=0.25m，
假设滑块恰好能滑过圆的最高点，设速度为v，
由牛顿第二定律得：mg=m

v2

R

，
由动能定理得：-μmgL₂-mg•2R=

1

2

mv²-

1

2

mv₄²，
代入数据解得：R=0.06m，
如果滑块恰好滑至

1

4

圆弧到达T点时的速度为0，
则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，
由动能定理得：-μmgL₂-mgR=0-

1

2

mv₄²，
代入数据解得：R=0.15m，
综上所述，滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，半径需要满足的条件是：
R≤0.06m或R≥0.15m；
答：（1）滑块B与A碰撞结束瞬间的速度为

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m/s；
（2）小车与墙壁碰撞前瞬间的速度为2m/s；
（3）为使滑块B能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，半径需要满足的条件是：R≤0.06m或R≥0.15m．