题目

题型：蚌埠模拟难度：来源：

经过观察，科学家在宇宙中发现了许多孤立的双星系统．若双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距为L（远大于星体半径），它们正绕两者连线的中点做圆周运动．
①试计算双星系统中的运动周期T_计算；
②若实际观察到的运动周期为T_观测，且T_观测：T_计算=1：

N+1

（N＞1），为了解释T_观测与T_计算的不同，目前理论认为，宇宙中可能存在观察不到的暗物质，假定有一部分暗物质对双星运动产生影响，该部分物质的作用等效于暗物质集中在双星的连线的中点，试证明暗物质的质量M′与星体的质量M之比为 M′：M=N：4．

答案

（1）以双星系统中任一星球为研究对象，根据牛顿第二定律得

GM2

L2

=M

4π2

T2

•

L

2

得到 T算=

2π2L3 GM

（2）设暗物质的总质量为m，由牛顿第二定律得

GM2

L2

+

GMM′

( L 2 )2

=M

4π2

T 2测

•

L

2

解得：T测=

2π2L3 GM+4GM′

故：

T测

T算

=

GM GM+4GM′

=

M M+4M′

=

1 1+ 4M′ M

若：T_观测：T_计算=1：

N+1

（N＞1），则：N=

4M′

M

即：M′：M=N：4．
答：（1）该双星系统的运动周期 T算=

2π2L3 GM

 
    （2）略