题目

题型：安徽难度：来源：

如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R=0.2m的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0×10³ V/m．一不带电的绝缘小球甲，以速度v₀沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞．已知甲、乙两球的质量均为m=1.0×10^-2kg，乙所带电荷量q=2.0×10^-5C，g取10m/s²．（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移） 
（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；
（2）在满足（1）的条件下．求的甲的速度v₀；
（3）若甲仍以速度v₀向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围．

答案

（1）在乙恰能通过轨道的最高点的情况下，设乙到达最高点的速度为v_D，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，
则由向心力公式得   m

v 2D

R

=mg+qE      ①
竖直方向匀加速运动   2R=

1

2

（

mg+qE

m

） t²    ②
水平方向匀速运动     x=v_Dt          ③
联立①②③得：x=0.4m      ④
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v_甲、v_乙，
根据动量守恒有：
  mv₀=mv_甲+mv_乙 ⑤
根据机械能守恒定律有：
 

1

2

m

v

20

=

1

2

m

v

2甲

+

1

2

m

v

2乙

          ⑥
联立⑤⑥得：v_甲=0，v_乙=v₀          ⑦
由动能定理得：-mg•2R-qE•2R=

1

2

mv_D²-

1

2

mv_乙²     ⑧
联立①⑦⑧得：v₀=v_乙=

5(mg+qE)R m

=2

5

m/s       ⑨
（3）设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为v_M、v_m，
根据动量守恒有：
Mv₀=Mv_M+mv_m⑩
根据机械能守恒定律有

1

2

M

v

20

=

1

2

M

v

2M

+

1

2

m

v

2m

有以上两式可得：v_m=

2Mv0

M+m

由于M≫m，可得：v_D≤v_m＜2v_D
设乙球过D点的速度为v_D^′，
由动能定理得  -mg•2R-qE•2R=

1

2

m

v

′2D

-

1

2

m

v

2m

联立以上两个方程可得：2m/s≤v_D^′＜8m/s
设乙在水平轨道上的落点到B点的距离为x"，
则有：x"=v_D^′t
所以可以解得：0.4m≤x"＜1.6m
答：（1）乙在轨道上的首次落点到B点的距离是0.4m；
（2）甲的速度是2

5

m/s；
（3）乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围是0.4m≤x"＜1.6m．