题目

题型：不详难度：来源：

一根细杆弯制成如图所示的轨道，固定在竖直面内，BD为光滑的半圆形轨道，轨道半径R=1m，AB为粗糙水平轨道，A与B相距L=10m，一质量m=0.2kg的小环套在水平轨道上的A点，与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.1．现用一水平恒力F向右拉小环，已知F=2N，当小环运动到某点C时撤去该力（C点位于AB之间），设C点到A点的距离为x．在圆轨道的最高点D处安装一力传感器，当小环运动到D点时传感器就会显示环对轨道弹力大小的读数F_N，力传感器所能承受的最大作用力大小为18N，g取10m/s²．
（1）当x=4.2m时，小环运动到圆轨道上的B点时速度是多大？
（2）要使小环能够通过圆轨道的最高点D且保证力传感器安全，求x的范围；
（3）在满足（2）问的情况下，在坐标系中作出力传感器的读数F_N与x的关系图象（不要求写出作图过程）．

答案

（1）从A到B，由动能定理得：
Fx-μmgL=

1

2

mv_B²-0，解得v_B=8m/s；
（2）当小环恰能到达D点时，
设AC间的最小距离为x₁，此时v_D=0，
从A到D过程，由动能定理得：
Fx₁-μmgL-mg•2R=0-0，解得x₁=3m/s；
当小环到达D点且受到轨道弹力F_N=18N时，
设AC间最大距离为x₂，此时F_N，
由牛顿第二定律得：F_N+mg=m

v 2D最大

R

  ①，
从A到D过程中，由动能定理得：
Fx₂-μmgL-mg•2R=

1

2

mv_D²-0  ②，
由①②解得x2=8m；
所以x的范围为：3m≤x≤8m；
（3）力与xd的关系图象如图所示．
答：（1）小球到达B点时的速度为8m/s；
（2）x的范围为：3m≤x≤8m；
（3）F_N与x的关系图象如图所示．