题目

题型：上海模拟题难度：来源：

如图所示，一质量m=0.1kg、电量q=1.0×10^-5 C的带正电小球（可视作点电荷），它在一高度和水平位置都可以调节的平台上滑行一段距离后平抛，并沿圆弧轨道下滑。A、B为圆弧两端点，其连线水平，已知圆弧半径R=1.0m，平台距AB连线的高度h可以在0.2m-0.8m之间调节。有一平行半径OA方向的匀强电场E，只存在圆弧区域内。为保证小球从不同高度h平抛，都恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，小球平抛初速度v₀和h满足如图所示的抛物线，同时调节平台离开A点的距离合适。不计空气阻力，取g=10m/s²，求：
（1）小球在空中飞行的最短时间t；
（2）平台离开A的水平距离x范围；
（3）当h=0.2m且E=2.5×10⁴N/C时，小球滑到最低点C点的速度v；
（4）为了保证小球在圆轨道内滑动到C点的速度都是（3）中的v，则电场力F=qE的大小应与平台高度h满足的关系。（通过列式运算说明）   

答案

解：（1）当平台高度为0.2m时，空中飞行的最短时间t==0.2s
（2）因为小球从不同高度h平抛，都恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，所以小球进入圆弧轨道时时的速度方向不变，设此速度与竖直方向成α角
tgα==
v₀²=2ghtan²α
由图像中当h=0.8m时，v₀=3m/s代入上式得
9=2×10×0.8×tg²α
tgα=0.75，α=37°，则θ=106°
所以v₀²=11.25h
当h=0.2m时，v₀=1.5m/s
平台离开A的最小距离为s₁=v₀t=1.5×0.2=0.3m
同理得平台离开A的最大距离为s₂= v₀=3×=1.2m
（3）小球到达A点时的速度v_A===2.5m/s
从A点到C点，由动能定理得mgR(1-cos53°)-qER(1-cos53°)=mv_C²-mv_A²
代入数据，解得v_C=3.5m/s
（4）从A点到C点，由动能定理得
mgR(1-cos53°)-FR(1-cos53°)=mv_C²-mv_A²=mv_C²-m=mv_C²-m
代入数据得32F=125h-17
或