题目

题型：难度：来源：

【题文】（12分）设,且.
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性并用定义证明；
（3）设，求集合.

答案

【答案】（1）；（2）上单调递减，证明见解析；（3）

解析

【解析】
试题分析：（1）根据题意将代入，进而求得，得到的解析式；（2）利用（1）求得的解析式，再利用函数单调性的定义其单调性：在内任取且，进而用作差法比较和的大小，进而得到结论；（3）方程即为有两个不同的解，令，此函数为复合函数，令用换元法，转化为方程在内有两个不同的解，分离变量为：，进而转化为求关于的二次函数的值域问题，得到的取值范围.
试题解析：（1）∵,且
∴，
∵，∴
（2）上单调递减，证明如下：
设

∵ ∴∴
∴，∴
∴     ∴上单调递减
（3）方程为，令，则
方程在内有两个不同的解


由图知时，方程有两个不同解
∴
考点：1.函数的解析式；2.证明函数的单调性；3.二次函数的最值.