题目

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【题文】已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出以下命题：
①当时，；    ②函数有五个零点；
③对恒成立.
④若关于的方程有解，则实数的取值范围是；
其中，正确命题的序号是                   .

答案

【答案】①③

解析

【解析】
试题分析：由为上的奇函数，，当时，当时，，，即，故①正确；对时的解析式求导数可得，，令，解得，且当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；的极小值为，又而当时，恒成立，又因为奇函数的图象关于原点对称，故函数的大致图象应如图所示：

由图象易知，函数有3个零点，即②错误；由图知，对恒成立，即③正确；若关于方程有解，则实数的取值范围为，故④错.
故答案为①③.
考点：函数的奇偶性；函数零点个数的判断；恒成立问题.