题目
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【题文】(14分)已知函数
.
(1)用定义证明
是偶函数;
(2)用定义证明
在
上是减函数;
(3)作出函数
的图像,并写出函数
当
时的最大值与最小值.
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(1)用定义证明
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(2)用定义证明
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(3)作出函数
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答案
【答案】(1)证明过程见试题解析,(2)证明过程见试题解析,(3)最大值7,最小值
。
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解析
【解析】
试题分析:(1)先求出
定义域为R,然后再求得
,易得
,(2)根据减函数的定义,先在定义域内任取两个变量
,且
,然后作差因式分解得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-16348.png)
,又
,
,可知
,即
在
上是减函数,(3)因为
为二次函数,根据列表、描点、连线可画出它在
的大致图像。
试题解析:(1)证明:函数
的定义域为
,对于任意的
,都有
,∴
是偶函数.
(2)证明:在区间
上任取
,且
,则有
,
∵
,
,∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134008-43040.png)
即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134008-85846.png)
∴
,即
在
上是减函数.
(3)图略,最大值为
,最小值为
.
考点:(1)偶函数定义,(2)减函数定义,(3)数形结合求函数最值问题。
试题分析:(1)先求出
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134004-41257.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-51091.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-11275.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-16348.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134006-89476.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134006-16939.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-11275.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134006-46639.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-31166.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-72077.png)
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试题解析:(1)证明:函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
(2)证明:在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-31166.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-51091.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-11275.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134008-32727.png)
∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134006-16939.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134005-11275.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134008-43040.png)
即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134008-85846.png)
∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134006-46639.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-33946.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326134003-31166.png)
(3)图略,最大值为
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考点:(1)偶函数定义,(2)减函数定义,(3)数形结合求函数最值问题。
核心考点
举一反三
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