题目

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【题文】本题共14分）已知函数。
（1）求的定义域；
（2）判定的奇偶性；
（3）是否存在实数，使得的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。

答案

【答案】（1）定义域为；（2）在定义域上为奇函数；（3）；

解析

【解析】
试题分析：这是一道比较综合的题目，（1）考的是对数函数定义域的注意事项?分母不能为零?真数大于零（2）把握住判断函数奇偶性的方法，若，则函数为偶函数，若，则函数为奇函数。在处理奇偶性的问题时，一定要注意定义域的取值是否关于原点对称。（3）由单调性来研究值域的典型例题，考查同学对二次函数根与系数的分布知识的掌握情况。通常在研究此类问题时，我们从，对称轴，以及函数值的正负情况等三方面入手。
试题解析：解：（1）由
所以，的定义域为。       .3分
（2）
所以，在定义域上为奇函数；。        ...7分
（3）假设存在这样的实数a，
则由有意义，可知：；
又
令上递增。
而上递减。
        . 10分
即m，n是方程的两个实根，于是问题转化成关于x 的方程上有两个不同的实数解。
令 则有：


故存在这样的实数符合题意。      14分
考点：对数函数定义域的求法以及奇偶性的判定，二次函数根与系数的分布