题目
题型:难度:来源:
【题文】(本小题共15分)已知函数
对任意实数
恒有
且当x>0,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123856-70665.png)
(1)判断
的奇偶性;
(2)求
在区间[-3,3]上的最大值;
(3)解关于
的不等式![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123856-86535.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123855-74353.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123855-86655.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123856-40771.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123856-70665.png)
(1)判断
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123855-74353.png)
(2)求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123855-74353.png)
(3)解关于
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123856-45028.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123856-86535.png)
答案
【答案】(1)
为奇函数;(2)6;(3)当
时,
;当
时,
;
当
时,
;当
时,
;当a>2时,
。
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123857-47289.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123857-96752.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123857-23809.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123858-70909.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123858-39193.png)
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123858-71867.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123858-42660.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123859-23723.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123859-66494.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123859-90316.png)
解析
【解析】
试题分析:(1)令
可得
,再令
,根据奇函数的定义可判断
为奇函数;
(2)由已知条件和单调函数的定义判断函数
在区间
为减函数,所以在区间
上,
;(3)由于函数是奇函数,整理
得
又
是减函数,所以
,对参数
分类讨论,可求不等式的解集。
试题解析:(1)取
则
.
取![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123902-15141.png)
对任意
恒成立 ∴
为奇函数
(2)任取
, 则
.
又
为奇函数 ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123905-46979.png)
∴
在(-∞,+∞)上是减函数.
对任意
,恒有![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123906-33514.png)
而![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123906-86288.png)
...................8分
∴
在[-3,3]上的最大值为6
(3)∵
为奇函数,∴整理原式得 ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123906-47323.png)
进一步可得
而
在(-∞,+∞)上是减函数,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123901-91992.png)
当
时,
当
时,
.
当
时,
当
时, ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123859-66494.png)
当a>2时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123859-90316.png)
综上所述:当
时,
当
时,
.
当
时,
当
时, ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123859-66494.png)
当a>2时,
.
考点:抽象函数的单调性、奇偶性,解不等式,分类讨论。
试题分析:(1)令
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123900-11551.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123900-79079.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123900-14551.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123857-47289.png)
(2)由已知条件和单调函数的定义判断函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123857-47289.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123900-23294.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123900-23294.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123901-21891.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123856-86535.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123901-63217.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123857-47289.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123901-91992.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123902-43690.png)
试题解析:(1)取
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123900-11551.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123902-56101.png)
取
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123902-15141.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123903-35219.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123903-91002.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123904-13979.png)
(2)任取
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123904-82717.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123904-16207.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123904-78333.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123904-69373.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123904-13979.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123905-46979.png)
∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123904-13979.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123905-48998.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123905-14401.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123906-33514.png)
而
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123906-86288.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123906-11153.png)
∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123904-13979.png)
(3)∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123904-13979.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123906-47323.png)
进一步可得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123901-63217.png)
而
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123904-13979.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123901-91992.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123907-57197.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123905-48998.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123857-96752.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123857-23809.png)
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123858-70909.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123858-39193.png)
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123858-71867.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123858-42660.png)
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123859-23723.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123859-66494.png)
当a>2时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123859-90316.png)
综上所述:当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123857-96752.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123857-23809.png)
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123858-70909.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123858-39193.png)
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123858-71867.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123858-42660.png)
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123859-23723.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123859-66494.png)
当a>2时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123859-90316.png)
考点:抽象函数的单调性、奇偶性,解不等式,分类讨论。
核心考点
举一反三
【题文】下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.![]() | B.![]() | C..![]() | D.![]() |
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