题目
题型:难度:来源:
【题文】已知函数
满足对一切
都有
,且
,当
时有
.
(1)求
的值;
(2)判断并证明函数
在
上的单调性;
(3)解不等式:
.
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(1)求
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(2)判断并证明函数
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(3)解不等式:
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答案
【答案】(1)
(2)利用函数的定义法来证明函数单调性,注意设变量的任意性,以及作差法,变形定号,下结论的步骤。
(3)![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033054-52585.png)
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(2)利用函数的定义法来证明函数单调性,注意设变量的任意性,以及作差法,变形定号,下结论的步骤。
(3)
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解析
【解析】
试题分析:解:⑴令
,得
, ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033055-89414.png)
再令
,得
,
即
,从而
. 2分
⑵任取![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033057-72316.png)
4分
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.
,即
.
在
上是减函数. 6分
⑶由条件知,
,
设
,则
,即
,
整理,得
, 8分
而
,
不等式即为
,
又因为
在
上是减函数,
,即
, 10分
,从而所求不等式的解集为
. 12分
考点:抽象函数的性质
点评:解决的关键是利用赋值法思想求值,同时借助于函数单调性定义证明单调性,从而解不等式。属于基础题。
试题分析:解:⑴令
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再令
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033056-26720.png)
即
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033054-47148.png)
⑵任取
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033057-48079.png)
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033059-89984.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033059-65463.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033053-17609.png)
⑶由条件知,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033059-47953.png)
设
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033100-79357.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033101-47479.png)
整理,得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033101-39779.png)
而
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033101-52025.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033102-90792.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033102-27941.png)
又因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033051-88162.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033053-17609.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033102-64621.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326033103-83125.png)
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考点:抽象函数的性质
点评:解决的关键是利用赋值法思想求值,同时借助于函数单调性定义证明单调性,从而解不等式。属于基础题。
核心考点
举一反三
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