题目
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【题文】函数是定义在R上的奇函数,当时,,则在上所有零点之和为 .
答案
【答案】8
解析
【解析】
试题分析:∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴,又∵函数,∴∴函数g(x)是偶函数,∴函数的零点都是以相反数的形式成对出现的.∴函数在[-6,6]上所有的零点的和为0,∴函数在[-6,+∞)上所有的零点的和,即函数在(6,+∞)上所有的零点之和.由0<x≤2时,,即∴函数在(0,2]上的值域为,当且仅当x=2时,=1;
又∵当x>2时,
∴函数在(2,4]上的值域为,当且仅当x=4时,=;
函数在(4,6]上的值域为,当且仅当x=6时,=;
函数在(6,8]上的值域为,当且仅当x=8时,=;
函数在(8,10]上的值域为,当且仅当x=10时,=;
故在(8,10]上恒成立,
注意到的零点就是函数的图象与曲线交点的横坐标,
所以在(8,10]上无零点;
同理在(10,12]上无零点;
依此类推,函数在(8,+∞)无零点;
综上函数在[-6,+∞)上的所有零点之和为8;故应填入:8.
如下图:
考点:1.奇偶性与单调性的综合;2.函数的零点.
试题分析:∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴,又∵函数,∴∴函数g(x)是偶函数,∴函数的零点都是以相反数的形式成对出现的.∴函数在[-6,6]上所有的零点的和为0,∴函数在[-6,+∞)上所有的零点的和,即函数在(6,+∞)上所有的零点之和.由0<x≤2时,,即∴函数在(0,2]上的值域为,当且仅当x=2时,=1;
又∵当x>2时,
∴函数在(2,4]上的值域为,当且仅当x=4时,=;
函数在(4,6]上的值域为,当且仅当x=6时,=;
函数在(6,8]上的值域为,当且仅当x=8时,=;
函数在(8,10]上的值域为,当且仅当x=10时,=;
故在(8,10]上恒成立,
注意到的零点就是函数的图象与曲线交点的横坐标,
所以在(8,10]上无零点;
同理在(10,12]上无零点;
依此类推,函数在(8,+∞)无零点;
综上函数在[-6,+∞)上的所有零点之和为8;故应填入:8.
如下图:
考点:1.奇偶性与单调性的综合;2.函数的零点.
核心考点
举一反三
【题文】设是R上的奇函数,当时,,且,则不等式的解集是( )
A. | B. |
C. | D. |
【题文】函数的定义域为,,对任意,,则的解
集为 .
集为 .
【题文】下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的函数是( )
A. | B. | C. | D. |
【题文】函数的增区间是 .
【题文】已知且,函数满足对任意实数,都有成立,则的取值范围是 ( )
A. | B. | C. | D. |
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