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题目
题型:难度:来源:
【题文】已知函数 的定义域是 的导函数,且 上恒成立
(Ⅰ)求函数 的单调区间。
(Ⅱ)若函数 ,求实数a的取值范围
(Ⅲ)设 的零点 , ,求证:
答案
【答案】(Ⅰ)的单增区间是,无单减区间;(Ⅱ);(Ⅲ)见解析
解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用导数的运算法则求出的导数,根据已知条件判断出在定义上正负,从而求出的单调区间;(Ⅱ)求出的导数,将代入,将条件具体化,根据上恒成立,通过参变分离化为上恒成立,利用导数求出最大值M,从而得出实数a的取值范围a>M;
(Ⅲ)由的零点知,的零点,由(Ⅰ)知 在(0,+)是单调增函数,得出当时,,即,即<0,在利用的单调性得出,利用不等式性质得出的关系,即可得出所证不等式.
试题解析:(Ⅰ)
因为上恒成立
所以上恒成立
所以的单增区间是,无单减区间              (3分)
(Ⅱ)
因为上恒成立
所以上恒成立
上恒成立              (4分)
 则

时,;当时,
故函数上单调递增,在上单调递减,
所以,所以.            (8分)
(Ⅲ)因为的零点,所以
由(Ⅰ)知,上单调递增,
所以当时,,即
所以当时,
因为,所以,且

所以
所以                        (12分)
考点:常见函数的导数,导数的运算法则,函数单调性与导数间关系,导数的综合运用,推理论证能力
核心考点
试题【【题文】已知函数 的定义域是 , 是 的导函数,且 在上恒成立(Ⅰ)求函数 的单调区间。(Ⅱ)若函数 ,求实数a的取值范围(Ⅲ)设 是 的零点 , ,求证: .】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
【题文】已知函数,定义如下:当时,(   ).
A.有最大值1,无最小值B.有最小值0,无最大值
C.有最小值—1,无最大值 D.无最小值,也无最大值
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【题文】已知函数
(1)求的值;
(2)判断上的单调性,并用定义给予证明.
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【题文】对于函数①f(x)=4x+
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【题文】函数f(x)=是(      )
A.偶函数,在(0,+∞)是增函数
B.奇函数,在(0,+∞)是增函数
C.偶函数,在(0,+∞)是减函数
D.奇函数,在(0,+∞)是减函数
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【题文】函数f(x)=是(      )
A.偶函数,在(0,+∞)是增函数
B.奇函数,在(0,+∞)是增函数
C.偶函数,在(0,+∞)是减函数
D.奇函数,在(0,+∞)是减函数
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