题目
题型:难度:来源:
【题文】已知函数
的定义域是
,
是
的导函数,且
在
上恒成立
(Ⅰ)求函数
的单调区间。
(Ⅱ)若函数
,求实数a的取值范围
(Ⅲ)设
是
的零点 ,
,求证:
.
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(Ⅰ)求函数
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(Ⅱ)若函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233629-58858.png)
(Ⅲ)设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233630-15586.png)
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答案
【答案】(Ⅰ)
的单增区间是
,无单减区间;(Ⅱ)
;(Ⅲ)见解析
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-14659.png)
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解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用导数的运算法则求出
的导数,根据已知条件
判断出
在定义上正负,从而求出
的单调区间;(Ⅱ)求出
的导数
,将
与
代入
,将条件具体化,根据
在
上恒成立,通过参变分离化为
在
上恒成立,利用导数求出
最大值M,从而得出实数a的取值范围a>M;
(Ⅲ)由
是
的零点知,
是
的零点,由(Ⅰ)知
在(0,+
)是单调增函数,得出当
时,
,即
,即
<0,在利用
的单调性得出
,利用不等式性质得出
与
的关系,即可得出所证不等式.
试题解析:(Ⅰ)![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233635-36092.png)
因为
在
上恒成立
所以
在
上恒成立
所以
的单增区间是
,无单减区间 (3分)
(Ⅱ)![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233636-17424.png)
因为
在
上恒成立
所以
在
上恒成立
即
在
上恒成立 (4分)
设
则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233636-76619.png)
令
得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233637-26768.png)
当
时,
;当
时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233637-32359.png)
故函数
在
上单调递增,在
上单调递减,
所以
,所以
. (8分)
(Ⅲ)因为
是
的零点,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233639-24435.png)
由(Ⅰ)知,
在
上单调递增,
所以当
时,
,即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233634-91639.png)
所以当
时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233639-39724.png)
因为
,所以
,且![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233634-36270.png)
即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233639-79651.png)
所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233639-42371.png)
所以
(12分)
考点:常见函数的导数,导数的运算法则,函数单调性与导数间关系,导数的综合运用,推理论证能力
试题分析:(Ⅰ)利用导数的运算法则求出
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-14659.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233632-55633.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233632-24775.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-14659.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233628-29288.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233632-49927.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233629-96881.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233628-29288.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233629-76332.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233632-55633.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233628-98908.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233633-67632.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233628-98908.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233633-10794.png)
(Ⅲ)由
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233630-15586.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233628-29288.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233630-15586.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-14659.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-14659.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233633-75293.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233633-28863.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233633-42304.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233634-91639.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233628-29288.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-14659.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233634-36270.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233634-39857.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233635-23875.png)
试题解析:(Ⅰ)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233635-36092.png)
因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233635-91437.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-50011.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233635-46597.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-50011.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-14659.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-50011.png)
(Ⅱ)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233636-17424.png)
因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233635-91437.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-50011.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233636-23238.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-50011.png)
即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233633-67632.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-50011.png)
设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233636-27859.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233636-76619.png)
令
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233637-42527.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233637-26768.png)
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233637-73500.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233637-18859.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233637-52252.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233637-32359.png)
故函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233638-24445.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233638-74424.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233638-96228.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233638-29104.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-43495.png)
(Ⅲ)因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233630-15586.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233628-29288.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233639-24435.png)
由(Ⅰ)知,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-14659.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233631-50011.png)
所以当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233633-28863.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233633-42304.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233634-91639.png)
所以当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233633-28863.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233639-39724.png)
因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233639-74738.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233639-39210.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233634-36270.png)
即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233639-79651.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233639-42371.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233640-40005.png)
考点:常见函数的导数,导数的运算法则,函数单调性与导数间关系,导数的综合运用,推理论证能力
核心考点
试题【【题文】已知函数 的定义域是 , 是 的导函数,且 在上恒成立(Ⅰ)求函数 的单调区间。(Ⅱ)若函数 ,求实数a的取值范围(Ⅲ)设 是 的零点 , ,求证: .】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
【题文】对于函数①f(x)=4x+![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325233538-37505.png)
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