题目

题型：难度：来源：

【题文】（1）设，求证:
（2）已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值及对应的x、y值．
（3）已知实数满足， 的最大值及对应的x、y、z值．

答案

【答案】（1）见解析；
（2），时有最小值为。
（3）当时，取最大值，所以．

解析

【解析】
试题分析：（1）法一，分析法：证明使a³+b³＞a²b+ab²成立的充分条件成立，
法二，综合法：由条件a≠b推出：a²-2ab+b²＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．（2）利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值（3）柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用，，注意变形
试题解析：证明：法一：（分析法）
要证a²+b²＞a²b+ab²成立，
只需证（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立
又因为a＞0，
只需证a²-ab+b²＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）²＞0显然成立，
由此命题得证．
法二：（综合法）∵a≠b，
∴a-b≠0
∴a²-2ab+b²＞0
∴a²-ab+b²＞ab（*）
而a，b均为正数，
∴a+b＞0，
∴（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）
∴a³+b³＞a²b+ab²．
（2）因为正数x、y满足2x+y=1，
当且仅当时取等号。 由 得所以当，时有最小值为。
（3）解：由柯西不等式：
．因为所以，即．因为的最大值是7,所以，得，
当时，取最大值，所以．
考点：作差法是比较两个代数式大小的与基本不等式及柯西不等式