题目

题型：难度：来源：

【题文】设关于的方程有两个实根，函数.
（1）求的值；
（2）判断在区间的单调性，并加以证明；
（3）若均为正实数，证明：

答案

【答案】（1）＋；（2）单调递增；（3）见解析.

解析

【解析】
试题分析：（1）因为是方程的的两个实根，利用韦达定理即可得到的解析式，求出进而即可求出的值；（2）利用导数及二次函数的图像来讨论导数的正负，即可判断函数的单调性；（3）首先求出的取值范围，然后根据函数的单调性判断出函数值的取值范围，把两个函数值相减即可得到要证的结论.
试题解析：（1）∵是方程的两个根， ∴，，     1分
∴，又，∴，   3分
即，同理可得
∴＋                          4分
（2）∵，                         6分
将代入整理的              7分
又，∴在区间的单调递增;          8分
（3）∵，
∴                            10分
由（2）可知，同理
                12分
由（1）可知，，，
∴
∴                  14分
考点：函数与方程、函数的单调性、不等式的证明.