题目

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【题文】（本题16分）已知函数，(x>0)．
（1）判断函数的单调性；
（2），求的值；
（3）是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是[a，b]？若存在，请求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

答案

【答案】（1）f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数（2）（3）不存在适合条件的实数a，b．

解析

【解析】
试题分析：（1）求分段函数的单调性，可先求出各段单调性，然后一般用逗号连接；（3）与函数有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.
试题解析：（1）∵x>0，∴
∴f(x)在（0，1）上为减函数，在上是增函数．
（2）由0<a<b，且f(a)=f(b)，可得 0<a1<b和．
即．
（3）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是[a，b]，则a>0
而
①当时，在（0，1）上为减函数．
故    即 解得  a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
② 当时，在上是增函数．
故    即 
此时a，b是方程的根，此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数a，b．
③ 当，时，由于，而，故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．
考点：函数的单调性，判断存在性问题.