题目

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【题文】（本题12分）函数．
（1）若，求的值；
（2）确定函数在区间上的单调性，并用定义证明．

答案

【答案】（1）或；（2）在区间上单调递减．

解析

【解析】
试题分析：（1）根据函数解析式分和两种情况解方程即可；对于分段函数求值问题，要牢牢把握分段这一特点，分段讨论，列出适合相应段的数学关系式，准确求解，正确合并，使问题得到解决．
（2）先判断函数在区间上的单调性，再利用函数单调性的定义证明；在利用函数单调性的定义证明时，要严格按照取值、做差变形、判断符号、做结论这四步进行，学生在做题时易出以下错误：①在所给区间上取两个特殊值验证后就下结论；②做差变形不彻底，影响符号的判定；③缺少判定符号的过程；④做结论时缺少单调区间．
试题解析：（1）∵ ，，
∴当时，，即，解之得或（舍）；    1分
当时，，解之得或（舍）；      2分
综上所述，实数a的值为或1．         4分
（2）在区间上单调递减．         6分
证明如下：
假设，则
        8分
∵，∴，，∴，
∴，          10分
∴函数在区间上单调递减．          12分
考点：①给定分段函数的函数值，求自变量；②函数单调性的判定与证明．