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题目
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【题文】(本小题12分)设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若="1" ,为整数,且当0时,,求的最大值.
答案
【答案】(1)若,则,此时函数在R上单调递增;
,则当时,;当时,.所以函数上单调递减;在上单调递增.
(2)整数的最大值为2.
解析
【解析】
试题分析:(1)首先根据函数的表达式可判断其定义域,然后对其进行求导可得,由于导函数中含有参数,将其分为两种情况:①,此时易判断出函数在R上单调递增;②,可求出其极值点,然后判断函数在极值点的左右两侧的单调性即可;
(2)首先将问题“当0时,”转化为“恒成立,其中”,即,记,求其导函数,由(1)知,函数上单调递增,且在上存在唯一的零点,即上存在唯一的零点.从而得出函数的最小值并求出其取值范围,进而得出整数的最大值.
试题解析:(1)函数的定义域为R,所以.
,则,此时函数在R上单调递增;
,则当时,;当时,.所以函数上单调递减;在上单调递增.
(2)因为,所以,所以当时,等价于,其中.
,则.
由(1)知,函数上单调递增,而,所以上存在唯一的零点,故上存在唯一的零点.设此零点为,则.
时,;当时,;所以上的最小值为.又由可得,,所以,所以,故整数的最大值为2.
考点:1、利用导数判断函数的单调性;2、导数在研究函数的最值中的应用.
核心考点
试题【【题文】(本小题12分)设函数.(1)求的单调区间;(2)若="1" ,为整数,且当0时,,求的最大值.】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
【题文】下列四组函数中,在上为增函数的是(    )
A.B.
C.D.
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【题文】若奇函数f(x)在区间[3,7]上是减函数且有最大值4,则f(x)在区间[-7,-3]上是( )
A.增函数且最小值为-4
B.增函数且最大值为-4
C.减函数且最小值为-4
D.减函数且最大值为-4
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【题文】(12分)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求证:f(8)=3
(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
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【题文】设函数是(-,+)上的减函数,若,则(     )
A.B.
C.D.
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【题文】已知函数在[-5,5]上是偶函数,且在[0,5]上是单调函数,满足,则下列不等式一定成立的是(    )
A.B.C.D.
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