题目

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【题文】（本小题满分12分）
设是定义在 上的函数,满足条件:
①； ②当时,恒成立.
（Ⅰ）判断在上的单调性,并加以证明；
（Ⅱ）若,求满足的x的取值范围.

答案

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

解析

【解析】
试题分析：（Ⅰ）所谓抽象函数即为解析式不知的函数，抽象函数是高中数学的难点，对抽象函数的研究常要通过函数的性质来体现，如函数的单调性、周期性和奇偶性．利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略．（Ⅱ）利用及将转化为，再利用单调性即可解决.
试题解析：（Ⅰ） 为定义域上的增函数；                  1分
设任意且 ，
因为，所以，
取 ，则 ，即          3分
因为且，所以
又当时,恒成立，所以
即，所以 是 上的增函数.            6分
（Ⅱ）因为，
可转换为          9分
所以，解得，所以x的取值范围为      12分
考点：函数性质的综合应用.