题目
题型:难度:来源:
【题文】(本题满分12分)已知函数是奇函数(且).
①求实数的值;
②判断在区间上的单调性,并加以证明;
③当且时,的值域是,求实数与的值.
①求实数的值;
②判断在区间上的单调性,并加以证明;
③当且时,的值域是,求实数与的值.
答案
【答案】①;②;当时,在上是减函数;当时,在上是增函数;③.
解析
【解析】
试题分析:本题以复合对数函数为载体,综合考查对数函数的性质,函数的单调性,函数的奇偶性,对考生数学式子变形能力要求较高.(1)由为奇函数,根据可以求出;(2)证明函数的单调性要利用定义:任意取值—作差—变形—定号下结论,在作差变形后得到的时对数式,再作差比较真数和1的大小,由于不确定,还需要分两种情况讨论函数的单调性;(3)函数的定义域为,所以,由题意,所以,又时,解得,由(2)知函数在上为减函数,要满足的值域是,需要时,,所以即.
试题解析:(1)因为是奇函数,即,
所以对定义域内的一切都成立,所以,
又当时,无意义,故
由(1)得,,任意取且,
则.
由于
因为,所以,
所以
所以当时 ,;当时,.
综上所述:当时,在上是减函数;
当时,在上是增函数
(3)由得中.又得
令,则,解得.所以.
当时,,此时在上是减函数,
所以当时,.由题意知,.
综上所述
考点:1.对数函数的性质;2.函数的单调性
试题分析:本题以复合对数函数为载体,综合考查对数函数的性质,函数的单调性,函数的奇偶性,对考生数学式子变形能力要求较高.(1)由为奇函数,根据可以求出;(2)证明函数的单调性要利用定义:任意取值—作差—变形—定号下结论,在作差变形后得到的时对数式,再作差比较真数和1的大小,由于不确定,还需要分两种情况讨论函数的单调性;(3)函数的定义域为,所以,由题意,所以,又时,解得,由(2)知函数在上为减函数,要满足的值域是,需要时,,所以即.
试题解析:(1)因为是奇函数,即,
所以对定义域内的一切都成立,所以,
又当时,无意义,故
由(1)得,,任意取且,
则.
由于
因为,所以,
所以
所以当时 ,;当时,.
综上所述:当时,在上是减函数;
当时,在上是增函数
(3)由得中.又得
令,则,解得.所以.
当时,,此时在上是减函数,
所以当时,.由题意知,.
综上所述
考点:1.对数函数的性质;2.函数的单调性
核心考点
举一反三
【题文】设函数是定义在上的奇函数,当时,,则关于的不等式的解集是 .
【题文】已知函数,若关于x的不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是 .
【题文】设,那么是( )
A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数 |
B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数 |
C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数 |
D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数 |
【题文】函数的单调减区间为 .
【题文】若函数在上递减,则函数的增区间是( ).
A. | B. | C. | D. |
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