题目

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【题文】（本小题满分12分）二次函数满足，且最小值是．
（1）求的解析式；
（2）实数，函数，若在区间上单调递减，求实数的取值范围．

答案

【答案】（1）；（2）．

解析

【解析】
试题分析：（1）根据条件可设，配方可得，再由的最小值是，从而，即有，；（2），
从而，因此存在两个极值点或，再由条件在区间上单调递减，因此需对和的大小关系进行分类讨论，即可得到关于的不等式组， 当，即时，由，得， ∴的减区间是，又∵在区间上单调递减，∴（满足），当，即时，由，得，
∴的减区间是，又∵在区间上单调递减，∴（满足），即实数的取值范围为．
试题解析：（1）由二次函数满足，设，  2分
则，又∵的最小值是，故，解得，
∴；   6分 ；
（2），   7分
∴，由，得或，又∵，故，    8分 当，即时，由，得，
∴的减区间是，又∵在区间上单调递减，
∴（满足），     10分
当，即时，由，得，
∴的减区间是，又∵在区间上单调递减，
∴（满足），综上所述得，或，
∴实数的取值范围为．   12分 ．       
考点：1．二次函数的解析式；2．导数的运用．