题目

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【题文】已知集合M={}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①M={}；
②M={}；
③M={}；
④M={}． 
其中是“垂直对点集”的序号是                   ；

答案

【答案】②④ 

解析

【解析】
试题分析：对于①是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，满足“垂直对点集”的定义；在另一支上对任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．
对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；
对于③M={（x，y）|y=log₂x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以集合M不是“垂直对点集”．
对于④M={（x，y）|y=e^x-2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，-1），则N（ln2，0），满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．

所以②④正确．
考点：函数的基本性质