题目
题型:难度:来源:
【题文】函数
的定义域为
,若存在闭区间
,使得函数
满足:①
在
内是单调函数;②
在
上的值域为
,则称区间
为
的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有( )
①
;
②
;
③
;
④![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194816-63079.png)
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①
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②
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③
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④
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A.①②③④ | B.①②④ | C.①③④ | D.①③ |
答案
【答案】C
解析
【解析】
试题分析:函数中存在“倍值区间”,则:①
在
内是单调函数;②![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194817-42174.png)
①
,若存在“倍值区间”
,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194818-49041.png)
∴
,若存在“倍值区间”[0,2];
②
,若存在“倍值区间”
,则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194818-48590.png)
构建函数
,∴
,
∴函数在
上单调减,在
上单调增,∴函数在
处取得极小值,且为最小值.
∵
,∴
恒成立,∴
无解,故函数不存在“倍值区间”;
③因为
,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194821-66347.png)
若存在“倍值区间”![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194816-79883.png)
,则
,若存在“倍值区间”
;
④
)(a>0,a≠1).不妨设
,则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”
,则
必有m,n是方程
的两个根,必有m,n是方程
的两个根,由于
存在两个不等式的根,故存在“倍值区间”[m,n];综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有①③④
考点:函数单调性、函数的定义域、函数的值域.
试题分析:函数中存在“倍值区间”,则:①
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194816-32940.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194816-79883.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194817-42174.png)
①
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194817-42852.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194816-79883.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194818-49041.png)
∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194817-42852.png)
②
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194818-37369.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194816-79883.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194818-48590.png)
构建函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194819-52136.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194819-43425.png)
∴函数在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194819-53484.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194820-68395.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194820-23796.png)
∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194820-68258.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194820-55754.png)
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③因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194821-55463.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194821-66347.png)
若存在“倍值区间”
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194816-79883.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194822-46179.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194822-27308.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194822-24217.png)
④
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194823-41130.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194823-75593.png)
若存在“倍值区间”
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194823-57387.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194823-17668.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194824-30170.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194824-45224.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194824-45224.png)
考点:函数单调性、函数的定义域、函数的值域.
核心考点
试题【【题文】函数的定义域为,若存在闭区间,使得函数满足:①在内是单调函数;②在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有( 】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
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