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题目
题型:湖北省高考真题难度:来源:
已知m,n为正整数。
(1)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
(2)对于n≥6,已知,求证:,m=1,2…,n;
(3)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n。
答案

解:(1)用数学归纳法证明:
(i)当时,原不等式成立;
时,左边,右边
因为
所以左边≥右边,原不等式成立;
(ii)假设当时,不等式成立,即
则当时,


于是在不等式两边同乘以得,

所以
即当时,不等式也成立
综合(i)(ii)知,对一切正整数,不等式都成立。
(2)当时,由(1)得

于是
(3)解:由(2),当时,



即当时,不存在满足该等式的正整数n
故只需要讨论的情形:
时,,等式不成立;
时,,等式成立;
时,,等式成立;
时,为偶数,而为奇数,
,等式不成立;
时,同的情形可分析出,等式不成立
综上,所求的n只有

核心考点
试题【已知m,n为正整数。(1)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;(2)对于n≥6,已知,求证:,m=1,2…,n;(3)求出满足等式3n+4n】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知数列{an},an≥0,a1=0,an+12+an+1-1=an2(n∈N*),记:Sn=a1+a2+…+an
,求证:当n∈N*时,
(Ⅰ)an<an+1
(Ⅱ)Sn>n-2;
(Ⅲ)Tn<3。
题型:浙江省高考真题难度:| 查看答案
设数列{an}满足:a1=2,an+1=an+(n=1,2,3,…)。
(1)证明:对一切n恒成立;
(2)令,判断bn与bn+1的大小,并说明理由。
题型:重庆市高考真题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0<a1<1,an+1=f(an),n=1,2,3,…,
证明:(Ⅰ)0<an+1<an<1;   
(Ⅱ)
题型:湖南省高考真题难度:| 查看答案
已知m,n为正整数。
(1)用数学归纳法证明:当x>-1时,(1+x)m≥1+mx;
(2)对于n≥6,已知,求证:,m=1,2…,n;
(3)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n。
题型:同步题难度:| 查看答案
已知数列{an}中,,当n≥2时,3an+1=4an-an-1(n∈N*),
(Ⅰ)证明:{an+1-an}为等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}的通项;
(Ⅲ)若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立,求λ的最小值。
题型:陕西省模拟题难度:| 查看答案
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