题目

题型：陕西省模拟题难度：来源：

已知数列{a_n}中，，当n≥2时，3a_n+1=4a_n-a_n-1(n∈N*)，
(Ⅰ)证明：{a_n+1-a_n}为等比数列；
(Ⅱ)求数列{a_n}的通项；
(Ⅲ)若对任意n∈N*有λa₁a₂a₃…a_n≥1(λ∈N*)均成立，求λ的最小值。

答案

(Ⅰ)证明：∵数列{a_n}中，，
当n≥2时，3a_n+1=4a_n-a_n-1(n∈N*)，
∴当n≥2时，，
即，
所以，是以为首项，以为公比的等比数列。
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，，
故
，
累加，得，
所以，。
 (Ⅲ)解：若对任意n∈N*有λa₁a₂a₃…a_n≥1(λ∈N*)均成立，
即在n∈N*时恒成立，
故需求在n∈N*上的最小值，
先证n∈N*时有，
显然，左边每个因式都是正数，先证明对每个n∈N*，有
，
用数学归纳法证明上式，
(ⅰ)n=1时，上式显然成立；
(ⅱ)假设n=k时，结论成立，
即，
则当n=k+1时，


即当n=k+1时，结论也成立；
故对一切n∈N*，
成立，
所以，


，
∵，
易知，
故，
而在n∈N*时恒成立且λ∈N*，
所以，λ的最小值为2。