用数学归纳法证明：对于大于1的任意自然数n，都有112+122+132…1n2＜2-1n成立． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

用数学归纳法证明：对于大于1的任意自然数n，都有

…

＜2-

成立．

答案

证明：①当n=2时，结论成立；
②假设n=k（k＞1，k∈Z）时，不等式成立；
当n=k+1时，左边＜2-

(k+1) 2

，
下证：2-

(k+1) 2

＜ 2-

k+1

即证：

k+1

(k+1) 2

＜ 0，
即证

(k+1) 2

＜

k(k+1)

，⇔k+1＞k，这个是显然成立的，
得结论成立，即当n=k+1时，不等式成立，
由①②根据归纳原理，不等式成立．
即得证．

核心考点

试题【用数学归纳法证明：对于大于1的任意自然数n，都有112+122+132…1n2＜2-1n成立．】；主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知数列{x_n}中，x1=1，xn+1=1+

p+xn

(n∈N*，p是正常数)．
（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明xn＜

(n∈N*)
（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x_M≥x_n．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．
证明：（I）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（II）an+1＜

an3．

题型：湖南难度：| 查看答案

是否存在常数a、b、c使等式1•（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立？证明你的结论．

题型：不详难度：| 查看答案

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f^-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜

x，定义数列a_n：a₀=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1），n=1，2，…．
（1）求证：an+1+an-1＜

an(n=1，2，…)；
（2）设b_n=a_n+1-2a_n，n=0，1，2，…．求证：bn＜(-6)(

)n（n∈N^*）；
（3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有an=

A•4n+B

成立；②当n=2，3，…时，有an＜

A•4n+B

成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．

题型：海淀区二模难度：| 查看答案

在数列|a_n|中，a₁=t-1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a_n+1（a_n+tⁿ-1）=a_n（tⁿ⁺¹-1），（n∈N⁺）
（1）猜想出数列|a_n|的通项公式并用数学归纳法证明之；
（2）求证：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

题型：武汉模拟难度：| 查看答案

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