（Ⅰ）已知a，b∈R且a＞0，b＞0，求证：a2b+b2a≥a+b；（Ⅱ）求函数y=(1-x)2x+x21-x（0＜x＜1）的最小值． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

（Ⅰ）已知a，b∈R且a＞0，b＞0，求证：

≥a+b；
（Ⅱ）求函数y=

(1-x)2

1-x

（0＜x＜1）的最小值．

答案

（Ⅰ）【证法1】：∵

-(a+b)=

a3+b3-a2b-ab2

a3-a2b-(ab2-b3)

a2(a-b)-b2(a-b)

(a-b)2(a+b)

∵a＞0，b＞0，∴

(a-b)2(a+b)

≥0，当且仅当a=b时等号成立．
∴

≥a+b
【证法2】：∵a＞0，b＞0，∴(a+b)(

)=a2+b2+

≥a2+b2+2ab=(a+b)2
∴

≥a+b，当且仅当a=b时等号成立．
（Ⅱ）∵0＜x＜1，∴1-x＞0，由（Ⅰ）的结论
函数y=

(1-x)2

1-x

≥（1-x）+x=1，当且仅当1-x=x即x=

时等号成立，
∴函数y=

(1-x)2

1-x

(0＜x＜1)的最小值为1．

核心考点

试题【（Ⅰ）已知a，b∈R且a＞0，b＞0，求证：a2b+b2a≥a+b；（Ⅱ）求函数y=(1-x)2x+x21-x（0＜x＜1）的最小值．】；主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=（1+x）ⁿ（x＞-1，n∈N^*）在点（0，1）处的切线L为y=g（x）
（Ⅰ）求切线L并判断函数f（x）在x∈（-1，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）对任意的x∈（-1，+∞）都成立；
（Ⅲ）求证：已知m，n∈N^*，S_m=1^m+2^m+…+n^m，求证：n^m+1＜（m+1）S_m．

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（1）解不等式

2x2-4x-1

x2-2x-3

≥3；
（2）a，b∈R⁺，2c＞a+b，求证c-

c2-ab

＜a＜c+

c2-ab

．

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求证：若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心，则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也必是此三角形的垂心．

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（1）a，b，c∈R，求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ca（综合法证明）
（2）求证：

＜

（分析法证明）

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如果a，b都是正数，且a≠b，求证：

。

题型：0123 期末题难度：| 查看答案

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