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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=(1+x)n(x>-1,n∈N*)在点(0,1)处的切线L为y=g(x)
(Ⅰ)求切线L并判断函数f(x)在x∈(-1,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)求证:f(x)≥g(x)对任意的x∈(-1,+∞)都成立;
(Ⅲ)求证:已知m,n∈N*,Sm=1m+2m+…+nm,求证:nm+1<(m+1)Sm
答案
(Ⅰ)f′(0)=n,所以:y-1=n(x-0)⇒g(x)=nx+1,f′(x)=n(1+x)n-1
∵x>-1,
∴f′(x)>0,所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增;-(4分)
(Ⅱ)要证:(1+x)n≥1+nx(x>-1,n∈N*)有三条可能的路径:
(1)二项式定理展开比较法(不难得证);
(2)数学归纳法(可参见选修4-5的贝努力不等式)
(3)构造新函数法:要证:(1+x)n≥1+nx(x>-1,n∈N*),
把n当成常数,把x当成变量,构造函数h(x)=(1+x)n-nx-1,
h′(x)=n(x+1)n-1-n=n[(x+1)n-1-1]--------------------------------(5分)
①n=1时,h(x)=0满足题意------------------------------------(6分)
②n≥2时,由(Ⅰ)知y=(x+1)n-1在(-1,+∞)上单调递增,
h′(x)>0⇔(x+1)n-1>1=(0+1)n-1⇔x>0
所以h(x)在(-1,0)上单调递减;(0,+∞)上单调递增,
所以h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥g(x)对任意的x∈(-1,+∞)都成立-------(8分)
构造左n项右n项
(Ⅲ)要证:nm+1<(m+1)(1m+2m+…+nm),
只需证:(1m+1-0m+1)+(2m+1-1m+1)+…+(nm+1-(n-1)m+1)<(m+1)(1m+2m+…+nm),
只需证:(nm+1-(n-1)m+1)<(m+1)nm
只需证:n-(1-
1
n
)
m
(n-1)<m+1,只需证:n-m-1<(1-
1
n
)
m
(n-1),
(1-
1
n
)
m
(n-1)>(1-
m
n
)(n-1)=n-1-m+
m
n
>n-1-m成立,
所以nm+1<(m+1)(1m+2m+…+nm)成立.-----------------------------------------------------(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=(1+x)n(x>-1,n∈N*)在点(0,1)处的切线L为y=g(x)(Ⅰ)求切线L并判断函数f(x)在x∈(-1,+∞)上的单调性;(Ⅱ)】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)解不等式
2x2-4x-1
x2-2x-3
≥3

(2)a,b∈R+,2c>a+b,求证c-


c2-ab
<a<c+


c2-ab
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求证:若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心,则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也必是此三角形的垂心.
题型:不详难度:| 查看答案
(1)a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca(综合法证明)
(2)求证:


2
-


3


6
-


7
(分析法证明)
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如果a,b都是正数,且a≠b,求证:
题型:0123 期末题难度:| 查看答案
甲、乙两人同时从A到B。甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步。如果两人步行速度、跑步速度均相同,则[     ]
A.甲先到B
B.乙先到B
C.两人同时到B
D.谁先到无法确定
题型:同步题难度:| 查看答案
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