题目
题型:北京难度:来源:
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);
(Ⅱ)若“绝对差数列”{an}中,a20=3,a21=0,数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3,…,分别判断当n→∞时,an与bn的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;
(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
答案
(Ⅱ)因为在绝对差数列{an}中a20=3,a21=0.所以自第20项开始,该数列是a20=3,a21=0,a22=3,a22=3,a24=0,a25=3,a26=3,a27=o,
即自第20项开始.每三个相邻的项周期地取值3,0,3.所以当n→∞时,an的极限不存在.
当n≥20时,bn=an+an+1+an+2=6,
所以
lim |
n→∞ |
(Ⅲ)证明:根据定义,数列{an}必在有限项后出现零项.证明如下:
假设{an}中没有零项,由于an=|an-1-an-2|,
所以对于任意的n,都有an≥1,从而
当an-1>an-2时,an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3);
当an-1<an-2时,an=an-2-an-1≤an-2-1(n≥3)
即an的值要么比an-1至少小1,要么比an-2至少小1.
令Cn=
|
则0<CA≤Cn-1-1(n=2,3,4,).
由于C1是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项C1<0,这与Cn>0(n=1,2,3,,)
矛盾.
从而{an}必有零项.
若第一次出现的零项为第n项,记an-1=A(A≠0),
则自第n项开始,每三个相邻的项周期地取值0,A,A,
即
|
所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.
核心考点
试题【在数列{an}中,若a1,a2是正整数,且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…,则称{an}为“绝对差数列”.(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数】;主要考察你对数列与函数的关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
x |
1 |
x |
15 |
2 |
lim |
n→∞ |
1 |
x |
1 |
x2 |
1 |
xn |
a1+2a2+3a3+…+nan |
1+2+3+…+n |
qx |
qx+p-1 |
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)若q>0,且
lim |
n→∞ |
| ||
2 |
lim |
n→∞ |
|
lim |
n→∞ |
lim |
n→+∞ |
f(n2) |
[f(n)]2 |
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