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题目
题型:南昌模拟难度:来源:
函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时,f(x)=
x2+x+4
x

(1)求f(x)的解析式;
(2)讨论函数f(x)的单调性,并求f(x)的值域.
答案
(1)∵f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数,
∴f(-x)=f(x)(1分)
设x<0,则-x>0,f(-x)=
(-x)2+(-x)+4
-x
=
x2-x+4
-x

f(x)=-
x2-x+4
x
(3分)
f(x)=





x2+x+4
x
       (x>0)
-
x2-x+4
x
    (x<0)
(4分)
(2)当x>0时,f(x)=
x2+x+4
x
=x+
4
x
+1
f′(x)=1-
4
x2
(6分)
令f"(x)=0⇒x=2
∴当x∈(0,2)时,f"(x)<0,f(x)是减函数,
x∈(2,+∞)时,f"(0)>0,f(x)是增函数,(8分)
且函数f(x)在此区间上有极小值y极小=f(2)=5
又f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称
∴x<0时,f(x)的增区间为(-2,0),减区间为(-∞,-2)(10分)
综上所述,f(x)在区间(-∞,-2)和(0,2)上是减函数
在区间(-2,0)和(2,+∞)上是增函数,值域为f(x)∈[5,+∞)(12分)
核心考点
试题【函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时,f(x)=x2+x+4x.(1)求f(x)的解析式;(2)讨论函数f(x)的单调性,并求f】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
若对任意x∈R,y∈R有唯一确定的f (x,y)与之对应,则称f (x,y)为关于x,y的二元函数.
定义:同时满足下列性质的二元函数f (x,y)为关于实数x,y的广义“距离”:
(Ⅰ)非负性:f (x,y)≥0;
(Ⅱ)对称性:f (x,y)=f (y,x);
(Ⅲ)三角形不等式:f (x,y)≤f (x,z)+f (z,y)对任意的实数z均成立.
给出下列二元函数:
①f (x,y)=(x-y)2
②f (x,y)=|x-y|;
③f (x,y)=


x-y

④f (x,y)=|sin(x-y)|.
则其中能够成为关于x,y的广义“距离”的函数编号是______.(写出所有真命题的序号)
题型:绵阳三模难度:| 查看答案
对于函数f(x)=mx-


x2+2x+n
(x∈[-2,+∞),若存在闭区间[a,b]⊆[-2,+∞)(a<b),使得对任意x∈[a,b],恒有f(x)=c(c为实常数),则实数m,n的值依次为______.
题型:浦东新区一模难度:| 查看答案
设关于x的函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为f(a).
(1)写出f(a)的表达式;
(2)试确定能使f(a)=
1
2
的a值,并求出此时函数y的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
从A={a1,a2,a3,a4}到B={b1,b2,b3,b4}的一一映射中,限定a1的象不能是b1,且b4的原象不能是a4的映射有(  )个.
A.12B.13C.14D.16
题型:不详难度:| 查看答案
给定k∈N*,设函数f:N*→N*满足:对于任意大于k的正整数n:f(n)=n-k
(1)设k=1,则其中一个函数f(x)在n=1处的函数值为______;
(2)设k=4,且当n≤4时,2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个数为______.
题型:湖南难度:| 查看答案
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