题目

题型：不详难度：来源：

给出定义在(0，＋∞)上的三个函数：，，，已知在x＝1处取极值.
（Ⅰ）确定函数h(x)的单调性；
（Ⅱ）求证：当时，恒有成立；
（Ⅲ）把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h₁(x)的图象，试确定函数y＝g(x)－h₁(x)的零点个数，并说明理由.

答案

（1）h(x)在(1，+∞)上是增函数，在(0，1)上是减函数.（2）见解析 （3）2

解析

（Ⅰ）由题设，，则.                     
由已知，，即.                                      
于是，则.                                        
由，所以h(x)在(1，+∞)上是增函数，在(0，1)上是减函数.
（Ⅱ）当时，，即.                           
欲证，只需证，即证.          
设，则.
当时，，所以在区间(1，e²)上为增函数.                 
从而当时，，即，故.        
（Ⅲ）由题设，.令，则
，即.                   
设，，则
，由，得x＞4.
所以在(4，＋∞)上是增函数，在(0，4)上是减函数.                        
又在(0，)上是增函数，在(，＋∞)上是减函数.
因为当x→0时，，.
又，，，
，则函数与的大致图象如下：                           
由图可知，当x＞0时，两个函数图象有2个交点，故函数y＝g(x)－h₁(x)有2个零点.