题目

题型：不详难度：来源：

旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售件。通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为。那么月平均销售量减少的百分率为。改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的平均利润是y（元）。
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大。

答案

（1）
（2）产品的销售价为30元时，旅游部门销售该纪念品的平均利润最大。

解析

本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，利用导数求闭区间上函数的最值工，其中根据已知条件确定函数的解析式是解答本题的关键．
（2）由已知中如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x2．计算出改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x），月平均销售量为2000（1-x²），整理可得y与x的函数关系式；
（3）根据（2）的解析式，利用结合x的取值范围，利用导数法易得月平均利润最大值．
解：（1）改进工艺后，每件产品的销售价为，
用平均销售量为件，
则月平均利润（元）
∴y与x的函数关系式为
（2）由（舍）
当，函数y是增函数；
当时，函数y是减函数。
∴函数取得最大值。
故改进工艺后，产品的销售价为=30元时，旅游部门销售该纪念品的平均利润最大。