题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：
①x＞1时，f（x）＜0，②f（）=1，③对任意x，y（ 0，+∞），
都有f（xy）= f（x）+ f（y），求不等式f（x）+ f（5-x）≥-2的解集。

答案

。

解析

试题分析：（1）构造函数中两个任意变量的函数值差，结合函数表达式得到函数单调性的证明。
（2）结合特殊值的函数值，得到f(4)=-2,进而得到函数的不等式的求解。
解：设0＜x1＜x2，则＞1，∵f（xy）= f（x）+ f（y）
∴f（x₂）= f（）= f（）+ f（x₁）
又∵x＞1时，f（x）＜0，∴f（）＜0
∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）是（ 0，+∞）上的减函数。又∵f（1）= f（1）+ f（1）
∴f（1）=0，而f（）=1，∴f（2）= f（2）+ f（）=0
∴f（2）=-1，∴f（x）+ f（5-x）≥-2="2" f（2）= f（4）
∴，∴0＜x≤1，或4≤x＜5
∴原不等式的解集是。
点评：解决该试题的关键是能利用已知条件分析得到函数的单调性的证明，结合已知的关系式将所求的表示为一个整体函数式，同时能结合单调性得到求解。