题目
题型:不详难度:来源:
已知(,为此函数的定义域)同时满足下列两个条件:①函数
在内单调递增或单调递减;②如果存在区间,使函数在区间上的值域为,那么称,为闭函数。请解答以下问题:
(1)判断函数是否为闭函数?并说明理由;
(2)求证:函数()为闭函数;
(3)若是闭函数,求实数的取值范围.
答案
(2) 见解析;(3).
解析
试题分析:(1)因为函数在区间上单调递减,在上单调递增,不符合题意,不成立。
(2)利用高次函数来分析,利用单调性的定义分析和证明。
(3)易知是上的增函数,符合条件①;设函数符合条件②的区间
为,利用对应相等得到结论。
解:(1)函数在区间上单调递减,在上单调递增;---2分
所以,函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数,从而该函数不是闭函数---4分
(2) 先证符合条件①:对于任意
且,有
, ,故是上的减函数.
又因为在上的值域是。 ---------8分
(3)易知是上的增函数,符合条件①;设函数符合条件②的区间
为,则;故是的两个不等根,即方程组为:
有两个不等非负实根; - -- --- ------11分
设为方程的二根,则 ,
解得:的取值范围. --- --- ---16分
点评:解决该试题的关键是理解概念,运用函数的单调性和函数的某个区间,是否满足定义域和值域相同得到结论。
核心考点
试题【(本小题满分16分)已知(,为此函数的定义域)同时满足下列两个条件:①函数在内单调递增或单调递减;②如果存在区间,使函数在区间上的值域为,那么称,为闭函数。请解】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. |
C. | D. |
A. | B. |
C. | D. |
(1)求时函数的解析式
(2)用定义证明函数在上是单调递增
(3)写出函数的单调区间
已知是一个奇函数.
(1)求的值和的值域;
(2)设>,若在区间是增函数,求的取值范围
(3) 设,若对取一切实数,不等式都成立,求的取值范围.
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